위험을 적절히 계산했다면 도박은 괜찮습니다
행동적 우위의 어려움
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과정이 에르고딕인지 비에르고딕인지 아는 것은 얼마나 많은 위험을 감수해야 할지 결정하는 데 매우 중요합니다. 투자와 부는 비에르고딕 과정이기 때문에, 기대값에 대한 우리의 첫 생각이 매우 잘못되었음을 의미합니다.
들어본 적 있어요 ergodicity 전에 봤는데, 직접 보기 전까지는 완전히 이해하지 못했어요 this video 에르고디시티 TV가 작성했습니다. 중요한 개념이지만 금융보다는 물리학에서 더 널리 알려진 것 같습니다. 아래에서 제 자신의 말로 설명해보고 싶습니다.
우리는 평균, 중앙값, 극균 등 다양한 종류의 ‘평균’에 익숙합니다 1. 오늘의 평균에 집중하고, 무작위 사건의 기대값으로 봅시다 2. 기대값을 어떻게 정의하느냐는 매우 다른 결과를 낳아 베팅의 매력과 베팅 금액에 대한 사고방식을 바꿀 수 있습니다.
에르고딕티란 앙상블 평균이 시간 평균과 같다는 뜻입니다. 어떤 것이 비에르고딕이라는 것은 반대로, 앙상블 평균이 시간 평균이 아님을 의미합니다.
네, 여기서 앙상블과 시간이 무슨 뜻인지 잘 모르겠어요 3 둘 다 아니니, 동전 던지기 예를 들어보겠습니다.
어떤 사람이 동전을 5번 던져서 앞면과 뒷면을 나온다고 가정해 봅시다. 이 시뮬레이션의 시간 평균은 한 사람의 평균 앞면을 계산할 수 있습니다. 5번 던지면 중 3번 나오므로, 앞면은 0.6개(3에서 5로 나누는 값)입니다.
동전을 던지기 위해 몇 명을 더 모았다고 가정해 봅시다. 아래는 편의를 위해 앞면을 1, 뒷면을 0으로 표현한 것과 비슷한 결과가 나옵니다:
여기서 사용할 수 있는 평균은 두 가지 유형이 있습니다. 첫 번째는 이전의 시간 평균으로, 여기서 우리는 한 사람의 일정 기간 동안 평균을 내는 것입니다.
두 번째는 앙상블 평균으로, 여기서 우리는 다음을 얻습니다. 여러 사람이 한 기간 동안 평균을 내는 것입니다.
에르고딕티가 답하려는 큰 질문은 다음과 같습니다: 이 두 평균이 장기적으로 같을 것으로 예상해야 할까요?
잠시 생각하면 이 예시에서 그렇게 해야 한다고 추론할 수 있을 것입니다. 동전 던지는 무작위이며, 이전 결과에 의존하지 않습니다. 앙상블 평균은 장기적으로 시간 평균과 같습니다. 동전 던지기가 충분히 많으면 이 평균은 0.5가 될 것으로 기대됩니다 4 .
아마도 이미 믿었을 거라는 걸 보여주는 말이 많았는데, 왜 이게 그렇게 중요하다고 생각하는 걸까요?
예를 바탕으로 동전 던지기에 베팅하는 사람들을 만들어봅시다. 모두가 1달러로 시작해 이기면 50% 이익을 얻고, 지면 베팅의 40%를 지불합니다. 예를 들어:
동전 던지기 결과 자체보다는 각자가 가질 부를 생각해 봅시다. 만약 우리가 이것들을 그래프로 그리면, 한 사람의 부의 시간 평균이 장기적으로 모두의 부의 집합 평균과 같을 것이라고 기대해야 할까요?
다르게 말하면: 그런 내기를 하시겠습니까? 반복해서 제안한다면?
이런 베팅의 기대 가치는 50% 곱하기 $1.50, 그리고 50% 곱하기 $0.60이 되어 $1.05가 됩니다. 기대값이 양수라면 계속 베팅해야 할 것 같습니다. 동전 던지기를 시뮬레이션해 봅시다.
동전 던지기 시뮬레이션을 코딩했어요 jupyter notebook 5 . 위 시나리오를 한 사람이 동전 던지기 100회를 하면 부가 최대 4달러까지 증가했다가 결국 거의 0달러로 떨어지는 것을 알 수 있습니다.
음, 아마 운이 나쁜 상황일지도 모르겠네요. 대신 100명으로 다시 해봅시다. 여전히 동전 던지기를 100번 해봅시다. 각 동전 던지기마다 평균 부(앙상블 평균)도 계산하고, 빨간 점선으로 표현할 것입니다 6 .
아래 두 그래프는 데이터상 동일합니다; 더 나은 시각화를 위해 로그 축으로 재조정하는 중입니다.
뭔가 이상한 일이 벌어지고 있습니다. 우리는 한 명의 운 좋은 예외자가 1,000달러의 재산을 쌓았고, 평균 부(점선 빨간 선)가 계속 증가하는 것을 봅니다. 하지만 주목하세요 이들 대부분은 돈을 잃었어요! 이 시뮬레이션에서 100명 중 94명은 처음 받은 1달러보다 적은 금액을 얻었습니다.
확신이 서지 않는다면, 노트북에 천 명이 나오는 예시가 있습니다; 또한 매개변수를 자유롭게 조정해 주세요.
우리가 보고 있는 것은 기대값이 양수이고 앙상블 평균이 증가하고 있음에도 불구하고, 한 사람의 평균 시간은 보통 감소하고 있다는 점입니다. 전체 ‘시스템’의 평균이 증가하지만, 그렇다고 해서 단일 단위의 평균이 증가한다는 의미는 아닙니다. 큰 예외가 평균을 왜곡하지만, 대다수 사람들은 손실을 보고 있습니다.
이 점은 다시 한 번 강조할 가치가 있습니다. 이러한 베팅의 기대 가치가 긍정적이었음에도 불구하고, 이에 참여한 100명 중 94명이 대부분의 돈을 잃었습니다. 이 결과들은 같은 시스템 내에서 일어나지만, 플레이하고 싶은지 반대로 판단하게 됩니다.
이 시나리오에서 부는 비에르고딕적인데, 미래의 부는 과거의 부에 의존하기 때문입니다(경로 의존성). 앙상블 평균은 시간 평균과 같지 않습니다.
부는 일반적으로 비에르고딕 상태이기도 합니다, 내일 투자 포트폴리오의 수익률은 현재 규모와 배분에 달려 있기 때문입니다.
실제로 이것이 투자에 의미하는 바는 다음과 같습니다:
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기대값을 적용하는 방식을 조심하세요, 그것이 전체 시스템의 평균인지, 아니면 당신 같은 개인이 평균적으로 기대해야 할 결과를 알고 싶으니까요. 확률이 생각나면 모델링해 보고 그것이 무엇을 의미하는지 살펴보세요
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처음에는 매력적으로 보일 수 있는 것이 종종 끔찍한 경우도 있습니다. 소수의 이상치가 평균을 위쪽으로 기울이기 때문입니다 7.
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만약 지금 보이는 확률이 마음에 들지 않는다면, 게임을 바꿔보세요. 이전 글에서 썼습니다. the Kelly Criterion 베팅 규모를 조절하는 것에 대해 이야기하며, 이는 당신이 얻거나 잃는 금액에 영향을 미칩니다.
요약하자면, 에르고딕티는 여러 시뮬레이션에서의 장기 평균이 한 시뮬레이션의 평균과 같은지에 관한 것입니다. 비에르고딕이 존재하고, 인생의 많은 것들이 에르고딕이 아니기 때문에, 감수하는 위험 양에 대해 매우 신중해야 합니다.
추가 자료
감사합니다 Tyler Richards그리고 Recurse Center 멤버인 Vaibhav Sagar, Sidharth Shanker, SengMing Tan, Alex Yeh와 관련해 의견을 듣고 싶습니다.
Footnotes
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In case you need a refresher, 평균은 모든 숫자를 합한 값으로 나누어 숫자 수를 나눈 평균값이며, 중앙값은 중간 숫자, 모드는 가장 흔한 숫자입니다 ↩
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그럴지도 몰라요 conflating mean and expected value here이 설명을 위해 단순화할 수 있다고 생각합니다 ↩
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흠 ↩
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정의상 앞면과 뒷면 50% 확률입니다 ↩
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누군가 제 코드를 꼭 확인해 봐야 할 것 같아요. 그리고 더 적은 줄로 코딩하는 더 우아한 방법이 있다고 생각해요. ↩
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이것은 사실 이론적 앙상블 평균이 아니며, 이론은 동전 던지기 횟수의 거듭제곱 곱으로 1.05를 선형적으로 증가시키는 것입니다. 여기서는 실제 결과의 평균만 계산하고 있어서, 선이 계속 증가하지 않고(단조롭게 증가하지는 않습니다) ↩
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부는 0달러에 하한선이 있지만 상한선은 없어서 평균도 무한한 것 같아요 ↩
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